Sejarah Bilangan Rasional

Ada teman yang bertanya tentang perpangkatan negatif, yaitu a{-1}. Ini mengenai (menyinggung sejarah) anggota dari himpunan bilangan Rasional yang biasanya dinotasikan dengan \mathbb{Q}. Teman saya bertanya mengapa a^{-1}=\frac{1}{a}? dan saya kemudian menjawab, karena itu kesepakatan oleh para matematikawan. Teman saya bertanya lagi, “kalau saya seorang matematikawan apa boleh saya mengganti definisi tersebut?”. Saya menjawab boleh asalkan tidak bertentangan dengan definisi-definisi sebelumnya dan tidak bertentangan dengan logika pada matematika yang telah disepakati secara universal.

Bagaimana a^{-1} bisa muncul?. Ketika saya membaca buku Analisis Real karangan Bartle, saya mencoba memahami bagaimana asal mulan munculnya a^{-1} dan berikut ini penjelasan versi saya setelah membaca buku Bartle.

Pada himpunan bilangan Real yang biasanya dinotasikan dengan \mathbb{R} terdapat dua macam sifat yang dimiliki yaitu sifat keterurutan dan sifat aljabar, kali ini saya ingin membahas sifat aljabarnya saja. Sifat aljabar pada buku Bartle dituliskan sebagai berikut ini :

  1. a+b=b+a untuk setiap a,b anggota \mathbb{R} atau sangat familiar disebut sebagai Komutatif pada penjumlahan.
  2. (a+b)+c=a+(b+c) untuk setiap a,b,c anggota \mathbb{R}, sifat asosiatif pada penjumlahan.
  3. Pada bilangan Real ada 0 sedemikian hingga 0+a=a dan a+0=a untuk setiap a anggota \mathbb{R}.
  4. Untuk setiap a anggota \mathbb{R} ada elemen -a anggota \mathbb{R} sedemikian hingga a+(-a)=0 dan (-a)+a=0, biasa disebut sebagai elemen negatif atau bilangan negatif.
  5. a*b=b*a untuk semua a,b anggota \mathbb{R}, yaitu sifat komutatif perkalian.
  6. (a*b)*c=a*(b*c) untuk setiap a,b,c anggota \mathbb{R}
  7. Ada elemen 1 yang berbeda dengan 0 pada \mathbb{R} sedemikian hingga 1*a=a dan a*1=a untuk setia a anggota \mathbb{R}.
  8. (**) Untuk setiap a\neq 0 anggota \mathbb{R} ada elemen \frac{1}{a} anggota \mathbb{R} sedemikian hingga bahwa a*(\frac{1}{a})=1 dan (\frac{1}{a})*a=1.
  9. a*(b+c)=(a*b)+(a*c) dan (b+c)*a=(b*a)+(c*a) untuk setiap a,b,c anggota \mathbb{R}, ini disebut sebagai sifat distribusi pada perkalian dibawah operasi penjumlahan.

Dari sifat yang ke 8 di atas dan sifat perkalian dari dua bilangan (a*a*a...*a=a^n, dengan n banyak dari a) dimunculkan definisi  baru sebagai berikut,

\frac{1}{a} * \frac{1}{a} * \frac{1}{a} ... \frac{1}{a}=(\frac{1}{a})^n, dimana n banyaknya \frac{1}{a}.

Setelah itu, agar lebih sederhana, didefinisikan penulisan dari \frac{1}{a}=a^{-1} dan kemudian diperluas dengan menulis \frac{1}{a^n}=a^{-n} dengan n anggota bilangan Bulat yaitu ...-3,-2,-1,0,1,2,3... (bilangan rasional juga bisa).

Jadi intinya, a^{-1}, a^{-2}, dan seterusnya merupakan bentuk yang spesifik dari definisi a^{-n}, n juga dapat berupa bilangan pecahan atau bilangan rasional misalkan n=\frac{1}{2} maka ditulis sebagai a^{\frac{1}{2}}.
Matematika merupakan satu bentuk disiplin ilmu pengetahuan yang berkembang berdasarkan aksioma, definisi, dan logika yang tepat. Lihat postingan ini.

Selanjutnya, mengenai bilangan rasional. Siswa perlu juga untuk diberikan pengetahuan awal tentang sejarah bagamana jenis-jenis bilangan muncul. Kebanyakan siswa dikenalkan terlebih dahulu pada bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif. dan bilangan pecahan sebelum dikenalkan sejarah dari semua macam bilangan tersebut. Berikut ini sejarah singkat tentang bilangan rasional.

Mula-mula manusia mengenal bilangan asli yang dinotasikan dengan \mathbb{N}, kalau ditanya siapa yang memunculkan notasi ini, tepatnya kesepakatan matematikawan, kalau ditanya lagi siapa orang yang pertama memberi ide, saya belum menemukan sumber yang terpercaya siapa orangnya, pendek kata, saya tidak tahu. Bilangan asli ini digunakan untuk menghitung benda utuh kalau dikehidupan sehari-hari.

Selanjutnya mengenal bilangan pecahan dengan berbagai macam bentuk (pecahan desimal, pecahan biasa, dll). Di mesir kuno dikenal dengan penyebut 1 atau 2 saja. Di perancis kuno, dikenal dengan penyebut kelipatan 6 dan 12  saja. Akan tetapi sekarang bilangan pecahan adalah bilangan bulat yang dapat dibentuk \frac{a}{b} dengan a,b anggota bilangan bulat dan b\neq 0. a disebut sebagai pembilang dan b disebut sebagai penyebut. Ada bilangan pecahan yang bukan merupakan bilangan rasional yaitu \pi=3,1415926535... karena tidak memiliki bagian desimal yang berulang dan bilangan \pi termasuk bilangan irasional. Bilangan rasional ini digunakan sebagai perbandingan, layaknya namanya, yang diambil dari kata rational. Bilangan rasional merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan real, dinotasikan \mathbb{Q}\subset\mathbb{R} sehingga semua operasinya mengikuti operasi pada bilangan real, yaitu +,-,*,: begitu juga aturannya.

Semisal perkalian pada bilangan rasional \frac{1}{3}*\frac{2}{3}=\frac{1*2}{3*3}=\frac{2}{9} yang mengikuti aturan perkalian pada bilangan bulat 2*3=6, hanya saja pada bilangan rasional ada penyebut dan pembilang. Dari sini, perkalian bilangan rasional yang sama juga mengadopsi dari perkalian pada bilangan bulat. Misalnya 2*2*2=2^3 pada bilangan bulat, sedangkan pada bilangan rasional \frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^4.

Sesuai dengan esensi matematika yaitu membantu menyederhanakan suatu permasalahan yang rumit untuk menemukan solusi yang diinginkan maka didefinisikan \frac{1}{a}=a^{-1} dengan tujuan menyederhanakan penulisan. Lebih jauh lagi notasi \frac{1}{a}*\frac{1}{a}*\frac{1}{a}*\frac{1}{a}=(\frac{1}{a})^4=\frac{1^4}{a^4}=\frac{1}{a^4}=a^{-4} dimunculkan juga dalam rangka penyederhanaan. Semua ini pengembangan dari sifat aljabar yang nomer 8.

Bilangan-bilangan tersebut secara sistematis dipelajari oleh banyak  matematikawan diantaranya Brahmagupta dari India pada tahun 628, Phytagoras dan Archimedes dari Yunani yang sebagaian besar masih pada bilangan asli. Aturan tentang bilangan asli mulai dikembangkan pada abad 19 yang mulai muncul definisi-definisi secara teoritis pada bilangan asli. Sedangkan untuk bilangan rasional, yang memberi nama adalah matematikawan terkenal dari Itali yaitu Peano pada tahun 1895, untuk aturan lebih lanjutnya, silahkan klik Rational number.

About these ads

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s