apa sih matrik itu? dan matrik orthogonal itu bagaimana?

Saya menulis ini, selain karena ada yang request untuk mengulas tentang matrik ortogonal. Saya berfikir bahwa saya masih banyak tidak menguasai tentang matrik, jadi saya putuskan untuk menulis dari awal tentang matrik. Mungkin tentang matrik ortogonal akan saya pelajari dan saya tulis setelah saya memahami dari dasar, tentang apa itu matrik. Tepatnya setelah saya menulis definisi matrik ini, muncul definisi matrik ortogonal.

Definisi Matrik

Sebelum masuk ke aplikasinya, alangkah tepat jika saya memulainya dengan menulis definisi matrik itu sendiri. Seingat saya matrik adalah susunan bilangan yang disusun sedemikian hingga. Kalimatnya tidak bagus ya, jadi ini saya tulis definisi dari Encyclopedia of Mathematics page 329.

Definition :

matrix (plural, matrices) A rectangular array of numbers displayed in rows and columns and enclosed
in parentheses is called a matrix.

(In science, the word matrix is used to describe the background material, soil or rock, that holds an object such as a fossil or a crystal in place. In mathematics, the word is used to describe an array that “holds” numbers in place.) An m\times n matrix has m rows and n columns.

Menggunakan pemahaman saya, berikut ini definisi matrik.

Definisi :

matrix (jamak, matrices) Sebuah susunan dalam bentuk persegi empat dari bilangan-bilangan yang ditampilkan menjadi baris dan kolom dimana susunan tersebut ditutup dalam kurung (…) atau […] disebut matriks. Umumnya sih menggunakan […].

(Dalam ilmu sains, kata matrix digunakan untuk menggambarkan susunan dasar dari materi, tanah atau bebatuan, yang mengandung sesuatu seperti fosil atau kristal di suatu tempat. Dalam matematika, kata tersebut digunakan untuk menggambarkan sebuah susunan yang mengandung” bilangan di suatu tempat.) Dimana m\times n matrix memiliki arti m baris dan n kolom.

Continue reading

Perpangkatan pada bilangan rasional

Saya sudah pernah nulis tentang perpangkatan bilangan rasional atau pecahan, tapi bukan membahas tentang bagaimana menyelesaikan soal tentang perpangkatan pada bilangan rasional atau pecahan. Kali ini saya akan membahas soal tentang perpangkatan pada bilangan rasional.

Saya membahas ini karena, lagi-lagi ada yang minta, dan saya sangat senang akan hal itu. Karena ini tidak memerlukan buku lagi untuk membuat artikel, jadi saya langsung tulis versi penjelasan dari saya.

perpangkatan bilangan rasional

Umumnya pasti sudah tahu kan konsep perpangkatan? saya yakin sudah tau. Itu hanya cara menulis pada matematika yang awalnya kita harus menulis 5\times 5\times 5\times 5\times 5 menjadi 5^5. Hanya sesimpel itu bahasanya. Lebih irit tinta.

Nah, masalahnya, kalau pada perpangkatan bagaimana? Oh, jangan khawatir, konsepnya sama saja. Sangat sama. Kalau saya menemukan suatu perkalian \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} maka saya boleh menulisnya menjadi (\frac{1}{2})^5. Dari sini, dasarnya ndak ada masalah ya?

Selanjutnya saya tulis rumus-rumus yang sering kali digunakan. Berikut ini rumus-rumus yang saya ingat.Hehehe

  1. \frac{x^a}{x^b}={x}^{a-b}
  2. x^a\times x^b={x}^{a+b}

Oke, cukup dua saja sepertinya sudah bisa digunakan memecahkan kebanyakan soal pada umumnya. Apa hanya rumus itu yang digunakan? Oh, pastinya tidak hanya rumus itu. Beberapa pemahaman tambahan diperlukan, berikut ini pemahaman tambahan yang saya maksudkan.

  1. {x}^{\frac{a}{b}}=\sqrt[a]{x^b}
  2. \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}
  3. x^{-a}=\frac{1}{x^a}

Apa lagi ya yang dibutuhkan untuk bisa mengerjakan persoalan tentang perpangkatan pada pecahan? Langsung ke latihan soal saja ya, biar bisa langsung praktek.

Oke, berikut ini soal latihannya.

Soal latihan perpangkatan pada pecahan

Ini soal sebenenya asal buat, tapi ga papa ya? Biar saya tidak membuat bilangan yang terlalu besar. Saya hanya berharap konsepnya masuk dan dapat difahami pembaca.😉

  1. Sederhanakanlah bentuk dari [\frac{{p}^{\frac{3}{4}}}{{q}^{\frac{1}{2}}}]\times p^{\frac{3}{4}} ya!
  2. Sederhanakanlah \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\times(\frac{a+b}{a-b})^2 ya!
  3. Sederhanakanlah \frac{{8}^{k+1}\times {3}^{2k}}{2^{3k+2}\times {9}^{k+1}} ya!
  4. Berapakah nilai x jika 3^{3x-1}=(\sqrt{3})^{4x-2} ya?
  5. Jika \frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}}=x^p tentukan nilai p dalam x ya!

 Jawab

  1. Langsung saja ya, gunakan rumus pecahan biasa yang saya tulis di atas yaitu yang ini \frac{x^a}{x^b}={x}^{a-b} dan nanti gunakan juga yang ini x^a\times x^b={x}^{a+b}. Dengan menggunakan rumus tersebut dan juga karena soal di atas boleh saya rubah menjadi bentuk seperti ini \frac{p^(\frac{3}{4})p^(\frac{3}{4})}{q^\frac{1}{2}} sehingga diperoleh
    perpangkatan pada pecahan1Itu sudah hasilnya.🙂
  2. Taukah bahwa soal nomer dua ini sangat menipu lho. Kenapa? lihat berikut ini.
    perpangkatan pada pecahan1
  3. Berikut ini jawabannya ya, silahkan difahami, rumus yang digunakan tetep kog.
    perpangkatan pada pecahantrus, diperoleh berikut ini,
    perpangkatan pada pecahan1
  4. Masuk ke nomer 4,🙂 berikut ini jawabannya dan caranya. Dengan mengkuadratkan kedua ruas dari soal berikut ini
    perpangkatan pada pecahan1Sehingga di peroleh sebagai berikut ini
    perpangkatan pada pecahan1lho lho lho? kog bisa keluar log juga? waduh-waduh. Hahaha santai saja, ini biar tidak keluar aturan mengerjakan. Ini saya tambah satu aja aturan dari logaritma, log a^b=b\times log a. Itu saja kog. Hehe jadi, setelah sudah tahu aturan itu, diperoleh sebagai berikut ini.
    perpangkatan pada pecahan1Jadi itulah hasilnya kawan.🙂
  5. Terakhir ini, lumayanlah. Dulu saya juga sangat bingun ngerjakan ini, soalnya dulu pas SMA saya paling oon di kelas.😀 Sampai sekarang juga seh. Hahaha Bantu doa ya biar saya pinter. Aaamin.
    perpangkatan pada pecahan1Semoga bisa memahami ya. Kalau ada tulisan saya ini yang ngaco caranya, langsung aja demo ga masalah ke diknas. Hehe Maksud saya, langsung ingatkan saya ya. Biar saya edit. Thank you sudah berkunjung.🙂 Semoga sukses!

Berikut ini tambahan, mungkin bermanfaat, tapi kayaknya bermanfaat deh. Menyederhanakan bentuk akar yang didalamnya terdapat operasi penjumlahan atau pengurangan.

mengerjakan akar

Happy 70th Independence Day, Indonesia!!!

Banyak sekali pencapaian Indonesia. Kalau diminta menyebutkan satu-satu, Saya tidak mau. Terlalu banyak sehingga pencapaiannya sulit untuk dituliskan. Untung-untung kalau ada yang mau share dengan menuliskan semua pencapaian Indonesia.

Intinya, apapun pencapaian Indonesia, Saya tetap bangga menjadi penduduk Indonesia.

perbandingan senilai dan berbalik nilai

Sering kali bingung membedakan perbandingan senilai dan berbalik nilai waktu masih SMP dulu. Sering-seringnya pakai nalar sendiri yang kemungkinan jawabannya benar ada, tapi sedikit.😀

Kali ini saya mencoba mereview materi perbandingan ini.

1.Perbandingan Senilai

Langsung saja ke permasalahannya saja. Secara umum kita tahu tentang perbandingan dan itu terkadang tidak menjadi materi yang menyulitkan kalau bisa memperhatikan, tapi sangat membingungkan kalau tidak cermat memahami maksud soal.

Untuk perbandingan senilai sangatlah sederhana, hampir semua orang bisa, syaratnya sudah memahami aritmatika sosial. Misalkan kita membeli 2 pasang sepatu seharga Rp.130.000, kalau kita beli 5 sepatu seharga 5 \times Rp.65.000. Hanya seperti itu. Idenya kita cari harga satuannya dulu.

Contoh Soal

Saya bersepeda selama 3 jam dapat menempuh jarak 20 Km. Berapa jarak yang saya tempuh jika saya bersepeda selama 4 jam?

Penyelesaian

Cara I

3 jam dapat menempuh jarak 20 Km, sehingga kita dapatkan dalam 1 jam jarak yang dapat saya tempuh adalah \frac{20}{3} Km. Dengan mendapatkan jarak tempuh dalam 1 jam, kita dapat mencarinya dalam kelipatan yang diinginkan.

Jarak yang dapat saya tempuh selama 4 jam adalah 4 \times\frac{20}{3} Km. Seperti itulah, pasti semuanya bisa, asalkan tidak ada kendala dalam masalah pecahan.🙂

Cara II

Dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini  :

perbandingan senilai

Jadi langsung saja kita hitung seperti berikut ini.

x=\frac{4}{3}\times 20=\frac{80}{3}

Jadi, jarak yang dapat ditempuh saya dalam waktu 4 Jam adalah \frac{80}{3} Km.

Dapat disimpulkan bahwa maksud dari perbandingan senilai adalah ketika waktu yang digunakan semakin lama maka jarak yang ditempuh juga akan semakin jauh. Makanya dinamakan perbandingan senilai. Kurang lebih seperti itulah.

2. Perbandingan Berbalik Nilai

Selanjutnya, perbandingan berbalik nilai. Ini terkadang sering membuat bingung. Misalkan ada permasalahan tentang membangun rumah dengan beberapa tukang. Sudah jelas kan, jika tukang semakin banyak maka waktu yang diperlukan untuk membangun rumah semakin sedikit tho? Ini masuk ke perbandingan berbalik nilai.

Contoh

Ada 45  tukang bangunan membangun rumah dengan waktu 30 hari. Jika pemborong menambah tukang sebanyak 10 orang, berapa harikah rumah dapat selesai dikerjakan?

Jawab

Cara I

45 tukang membutuhkan waktu selama 30 hari dan karena ditambah 10 orang jadi banyak tukangnya sekarang adalah 55 orang selama y hari. Maka dapat dituliskan sebagai berikut ini caranya.

45\times 30=55\times y

1350=55 y

y=\frac{1350}{55}=\frac{270}{11}

Jadi waktu yang dibutuhkan tukang untuk menyelesaikan rumah tersebut adalah semakin cepat, yaitu \frac{270}{11} hari atau 24 hari dan \frac{6}{11} hari. Untuk yang \frac{6}{11} hari bisa di ubah menjadi satuan jam dengan cara mengalikan dengan 24 jam.

Saya buat hasil apa adanya sehingga lebih natural dan tidak terkesan soal terlihat dibuat-buat.🙂

Cara II

Dengan menggunakan tabel sebagai berikut.

 perbandingan berbalik nilaiJadi langsung saja kita kerjakan dengan cara sebagai berikut ini.

z=\frac{45}{55}\times 30=\frac{1350}{55}

Hasil yang diperoleh tetap sama.🙂

 

Silahkan kasih masukan dan koreksi kalau ada kesalahan. Thank you sudah berkunjung.

100 Teorema Terkeren

Sudah mulai ribuan tahun yang lalu manusia mencari hal-hal yang bisa dihimpun sesuai kategorinya untuk menjadi “100 hal ter-“ baik atau buruk dalam banyak bidang. Baik dalam dunia perfilman maupun ilmu pengetahuan. Mulai dari orang yang tertinggi, orang yang terkaya, dan banyak lagi lainnya.

Sudah kebiasaan manusia untuk membuat pola dan mendaftar segala sesuatu dengan maksud untuk memberikan penghargaan bagi mereka yang telah memberikan karya terbaik. Disegala bidang pasti ada yang terbaik di bidang masing-masing.

Tidak mau ketinggalan, para Matematikawan dunia, pada konferensi Matematika pada bulan Juli tahun 1999, Paul dan Jack Abad mempresentasikan daftar dari 100 teorema yang terkeren “The Hundred Greatest Theorems.” Mereka me-rankingnya berdasarkan kriteria-kriteria berikut ini : “Posisi teorema bergantung pada literature, kualitas dari pembuktiannya, dan hasil akhir yang tidak disangka-sangka”- “the place the theorem holds in the literature, the quality of the proof, and the unexpectedness of the result.Waw, sungguh luar biasa. Bagi mereka, itulah sisi keindahan Matematika.

Daftar berikut ini pastinya bisa berubah-ubah layaknya penilaian pada dunia perfileman dan buku. Akan tetapi semua teorema yang berada di daftar berikut ini merupakan teorema-teorema yang benar-benar besar kegunaannya. Berikut ini teorema-teorema tersebut.

100 Teorema Terkeren untuk dibuktikan

1 The Irrationality of the square Root of 2 Pythagoras and his school 500 B.C
2 Fundamental Theorem of Algebra Karl Frederich Gauss 1799
3 The Denumerability of the Rational Numbers Georg Cantor 1867
4 Pythagorean Theorem Pythagoras and his School 500 B.C
5 Prime Number Theorem Jacques Hadamard and Charles-Jean de la Vallee Poussin (separately) 1896
6 Godel’s Incompleteness Theorem Kurl Godel 1931
7 Law of Quadratic Reciprocity Karl Frederich Gauss 1801
8 The Impossibility of Trisecting the Angle and Doubling the Cube Pierre Wantzel 1837
9 The Area of a Circle Archimedes 225 B.C
10 Euler’s Generalization of Fermat’s Little Theorem (Fermat’s Little Theorem) Leonhad Euler

Pierre de Fermat

1760

(1640)

11 The Infinitude of Primes Euclid 300 B.C
12 The Independence of the Parallel Postulate Karl Frederich Gauss, Janos Bolyai Nikolai Lobachevsky, G.F. Bernhard Riemann collectively 1870-1880
13 Polyhedron Formula Leonhard Euler 1751
14 Euler’s Summation of (The Basel Problem) Leonhard Euler 1734
15 Fundamental Theorem of Integral Calculus Gottfried Wilhel, von Leibniz 1686
16 Insolvability of General Higher Degree Equations Niels Henrik Abel 1824
17 DeMoivre’s Theorem Abraham DeMoivre 1730
18 Liouville’s Theorem and the Construction of Trancendental Numbers Joseph Liouville 1844
19 Four Squares Theorem Joseph-Louis Lagrange
20 Primes that Equal to the Sum of Two Squares (Genus theorem)
21 Green’s Theorem George Green 1828
22 The Non-Denumerability of the Continuum George Cantor 1874
23 Formula for Pythagorean Triples Euclid 300 B.C
24 The Undecidability of the Continuum Hypothesis Paul Cohen 1963
25 Schroeder-Bernstein Theorem
26 Leibnitz’s Series for Pi Gottfried Wilhel, von Leibniz 1674
27 Sum of The Angles of a Triangle Euclid 300 B.C
28 Pascal’s Hexagon Theorem Blaise Pascal 1640
29 Feuerbach’s Theorem Karl Wilhelm Feuerbach 1822
30 The Ballot Problem J.L.F. Bertrand 1887
31 Ramsey’s Theorem F.P. Ramsey 1930
32 The Four Color Problem Kenneth Appel and Wolfgang Haken 1976
33 Fermat’s Last Theorem Andrew Wiles 1993
34 Divergence of the Harmonic Series Nicole Oresme 1350
35 Taylor’s Theorem Brook Taylor 1715
36 Brouwer Fixed Point Theorem L.E.J. Brouwer 1910
37 The Solution of a Cubic Scipione Del Ferro 1500
38 Arithmetic Mean/Geometric Mean (Poof by Backward Induction)

(Polya Proof)

Augustin-Louis Cauchy
39 Solution to Pell’s Equation Leonhard Euler 1759
40 Minkowski’s Fundamental Theorem Hermann Minkowski 1896
41 Puiseux’s Theorem Victor Puiseux (based on a discovery of Isaac Newtown of 1671) 1850
42 Sum of the Reciprocals of The Triangular Numbers Gottfried Wilhelm von Leibniz 1672
43 The Isoperimetric Theorem Jacob Steiner 1838
44 The Binomial Theorem Isaac Newton 1665
45 The Partition Theorem Leonhard Euler 1740
46 The Solution of General Quartic Equation Lodovico Ferrari 1545
47 The Central Limit Theorem
48 Dirichlet’s Theorem Peter Lejune Dirichlet 1837
49 The Cayley-Hamilton Theorem Arthur Cayley 1858
50 The Number of Platonic Solids Theaetetus 400 B.C
51 Wilson’s Theorem Joseph-Louis Lagrange 1773
52 The Number of Subsets of a Set
53 Pi is Trancendental Ferdinand Lindemann 1882
54 Konigsbergs Bridges Problem Leonhard Euler 1736
55 Product of Segments of Chords Euclid 300 B.C
56 The Hermite-Lindemann Transcendence Theorem Ferdinan Lindemann 1882
57 Heron’s Formula Heron of Alexandria 75
58 Formula for the Number of Combinations
59 The Laws of Large Number
60 Bezout’s Lemma Etienne Bezout
61 Theorem of Ceva Giovanni Ceva 1678
62 Fair Games Theorem
63 Cantor’s Theorem George Cantor 1891
64 L’Hopital’s Rule John Bernouli 1969
65 Isosceles triangle Theorem Euclid 300 B.C
66 Sum of a Geometric Series Archimedes 260 B.C
67 is Transcendental Charles Hermite 1873
68 Sum of an Arithmetic series Babylonians 1700 B.C
69 Greatest Common Divisor Algorithm Euclid 300 B.C
70 The Perfect number Theorem Euclid 300 B.C
71 Order of a Subgroup Joseph-Louis Lagrange 1802
72 Sylow’s theorem Ludwig Sylow 1870
73 Ascending or Descending Sequences Paul Erdos and G. Szekeres 1935
74 The Principle of Mathematical Induction Levi ben Gerson 1321
75 The Mean value Theorem Augustine-Louis Cauchy 1823
76 Fourier Series Joseph Fourier 1811
77 Sum of -th powers Jakob Bernouilli 1713
78 The Cauchy –Szhwarz Inequality Augustine-Louis Cauchy 1814
79 The Intermediate value Theorem Augustine-Louis Cauchy 1821
80 The Fundamental Theorem of Arithmetic Euclid 300 B.C
81 Divergence of the Prime Reciprocal Series Leonhard Euler 1734
82 Dissection of Cubes (J.E. Littlewood’s elegant proof) .L. Brooks 1940
83 The Friendship Theorem Paul Erdos, Alfred Renyi, Vera Sos 1966
84 Morley’s Theorem Frank Morley 1899
85 Divisibility by 3 Rule
86 Lebesgue Measure and Integration Henri Lebesgue 1902
87 Desargues’s Theorem Gerard Desargues 1650
88 Derangements Formula
89 The Factor and Remainder Theorems
90 Stirling’s Formula James Stirling 1730
91 The triangle Inequality
92 Pick’s Theorem George Pick 1899
93 The Birthday Problem
94 The Law of Cosines Francois Viete 1579
95 Ptolemy’s theorem Ptolemy
96 Principle of Inclusion/Exclusion
97 Cramer’s Rule Gabriel Cramer 1750
98 Bertrand’s Postulate J.L.F. Bertrand 1860
99 Buffon Needle Problem Comte de Buffon 1733
100 Descartes Rule of Signs Rene Descartes 1637

Mungkin jika kita menguasai semua pembuktian dari teorema-teorema di atas ini, kita akan lebih bisa mencintai Matematika. Karena keindahan mereka berada pada pembuktiannya. Kita semua tahu, keindahan identik dengan hal yang sulit. Sulit dicerna, sulit dibuat, sulit ditiru, sulit untuk dilakukan. Akan tetapi, ingat, sulit tidak berarti tidak mungkin.🙂

Menentukan nilai rata-rata data kelompok

Saya dapat DM di twitter sama Teteh Inna. Dia ingin diskusi tentang menemukan mean pada suatu data dengan menggunakan rata-rata sementara. Padahal nih ya, saya ini termasuk yang lemah di statistika.

Meskipun saya lemah di bidang ini, saya mencoba mempelajari. Dan ini hasil penjabaran sesuai pemahaman saya.

Menemukan mean atau rata-rata dengan menggunakan rata-rata sementara

Ini saya mempelajari dengan membuka pegangan siswa sma kelas sebelas ini download buku sma kelas xi. Saya benar-benar lupa tentang materi statistika yang ini, bahkan saya lupa, apakah dulu saya pernah mempelajari ini.

Tapi, sekarang saya mencoba memahami dan menuliskan ulang pemahaman saya di sini. Semoga bermanfaat bagi yang membaca pada umumnya dan Teteh Inna pada khususnya.😀

Menentukan nilai rata-rata

Ini cara yang paling sederhana dan simpel yang saya tahu (lihat buku maksudnya J). Jika saya punya data sebagai berikut ini.

rata-rata menggunakan rata-rata sementara

Dengan menggunakan rumus di bawah ini :

\bar{x}=\frac{f_{1}x_{1}+ f_{2}x_{2}+ f_{3}x_{3}+\cdots+ f_{k}x_{k}}{ f_{1} + f_{2} + f_{3}+\cdots+ f_{k}}

\frac{\sum^{k}_{i=1}(x_{i}f_{i})}{\sum^{k}_{i=1}f_{i}}

Dengan menggunakan rumus tersebut dapat kita hitung sehingga diperoleh sebagai berikut ini datanya.

rata-rata dengan rata-rata sementara

Keterangan notasinya sebagai berikut ini.

x_{i} adalah titik tengah interval dari data ke – i

f_{i} adalah frekuensi data ke – i

Kalau mengerjakan statistik, alangkah baiknya dan lebih afdholnya di buat dulu tabel seperti ini. Selain enak dalam membaca tabelnya, kita juga tidak dibingungkan dengan angka-angka yang bertebaran.

Selanjutnya masukkan ke dalam rumusnya. Sehingga diperoleh sebagai berikut ini.

Mean = \frac{1.42+ 5.51+ 7.60+12.69+25.78+22.87+8.96}{1+5+7+12+25+22+8}=77,21

Mudah toh? Pasti semuanya sudah tau dan bilang, iya udah tau. Akhirnya saya yang malu karena saya baru tahu.

$h3$menentukan nilai rata-rata dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara$/h3$

Sudah tahu semua apa itu simpangan? Kalau sudah tahu, silahkan dilanjutkan membacanya dan skip tentang simpangan.

Simpangan adalah semua hal yang bersangkutan dengan sebaran data pada suatu himpunan. Di statistik sering bertemu dengan standard deviasi/ simpangan standar. Standard deviasi adalah nilai di matematika yang digunakan untuk menentukan sebaran data dari sebuah sample dan seberapa dekat titik data individu ke mean / rata-rata. (Siapapun tolong ingatkan/koreksi saya jika saya berada dalam jalan yang sesat)

Langsung menuju ke pembahasan mengenai mencari mean dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara.

Di sini akan saya bahas data di atas. Agar tidak membuat lagi data yang baru.

rata-rata

Sudah dibahas di sebelumnya bagaimana memperoleh x_{i} dan untuk d_{i} sudah ada rumusnya di dalam kolom tersebut.

Sekarang hal baru di sini adalah bagaimana menemukan x_{s}, benar begitu? Saya sebelumnya juga ga tahu dari mana itu. Tapi setelah saya baca dan mengahayati, ternyata x_{s} diambil dari “nilai tengah” dari “frekuensi terbesar”. Itulah x_{s} atau rata-rata sementaranya.

Nah, di tabel kan f_{i} atau frekuensi terbesarnya adalah 25, jadi yang dipilih sebagai x_{s} adalah 78. Semoga sudah memahami ya. Kalau belum bisa didiskusikan lagi. Saya senang bisa berdiskusi, karena dengan berdiskusi saya jadi ingat lagi.

Kalau sudah faham dengan semua yang ada di tabel, silahkan hitung \bar{x} dengan memasukkannya di rumus berikut ini.

                      \bar{x}=x_{s}+\frac{\sum^{k}_{i=1}(f_{i}d_{i})}{\sum^{k}_{i=1}(f_{i})}

 Dimana pengertian simbolnya sebagai berikut ini.

x_{s} adalah rata-rata sementara

d_{i} adalah deviasi atau simpangan terhadap rata-rata

Dengan rumus di atas dapat diperoleh sebagai berikut ini.

\bar{x}=x_{s}+\frac{\sum^{k}_{i=1}(f_{i}d_{i}}{\sum^{k}_{i=1}(f_{i})}=78+\frac{-117}{64}=77,21

Ta da, sudah selesai corat-coret saya. Semoga bermanfaat dan memberikan tambahan pemahaman yang lebih. Silahkan didiskusikan jika ada yang kurang dimengerti.

Contoh dan non-contoh kesebangunan

Ada yang komentar, “bisa diberi contoh masing2 gak pak? contoh untuk sebangun dengan yg tidak, biar lebih jelas.. soalnya aku belum benar2 paham.” Nah ini saya menulis Contoh dan non-contoh kesebangunan. Pastinya dengan bahasa saya ya, karena saya bukan guru, jadi saya berharap bisa memberikan pemahaman lebih tentang kesebangunan.🙂

Contoh dan non-contoh kesebangunan dan kekongruenan

Contoh Kesebangunan

Sebelum kasih contoh, kita harus tahu dulu cara baca notasi pada matematika. Kalau ndak bisa baca notasi, pasti kebingungan. Nah ini notasi yang perlu diketahui untuk materi kesebangunan ini.

\angle ABC dibaca sudut ABC. Gambarnya seperti di bawah ini.

sudutJadi, sudutnya terletak di huruf B.

Sedangkan untuk notasi sisi, ditulis BA atau AB. Dua-duanya sama yang dimaksud garis AB atau BA. Jadi Faham ya. Mari dilanjutkan.

Apa itu kesebangunan? Kunjungi halaman saya ini ya, klik di sini. Kalau sudah tahu apa itu kesebangunan, berikut ini contohnya.

dua segitiga sebangunPerhatikan yang saya tulis di bawah ini (yang bercetak tebal dan biru) ya, khusus dek Tia, konsentrasi ya waktu membaca.🙂

Proses menggambar segitiga di atas sebenarnya saya hanya membuat satu gambar segitiga, yaitu segitiga ABC saja. Kemudian saya copy paste menjadi segitiga ABC yang baru, akan tetapi, segitiga ABC yang baru saya perkecil tanpa mengubah besar sudut segitiga tersebut jadinya segitiga OPQ, hanya mengubah panjang sisi-sisinya. Nah itulah yang dinamakan sebangun. Kog bisa? iya karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar plus sisi-sisi yang bersesuaian perbandingannya bernilai sama.

(bentar-bentar, tau kan maksudnya bersesuaian? pasti tahu kan ya?🙂 pinter kog masa ga tahu)

Mana saja sudut yang bersesuaian? Berikut ini sudut yang bersesuaian.

\angle ABC=\angle POQ, \angle BCA=\angle OQP, dan \angle CAB=\angle QPO

Apa sudah cukup syaratnya hanya sudut-sudut yang bersesuain tersebut sama besar, trus bisa disimpulkan sebangun? Belum, kita harus tahu bahwa perbandingan masing-masing sisi segitiga yang bersesuaian sama nilainya.

Misalkan diketahui panjang AB=8, panjang AC=10, dan CB=12.

dan juga misal diketahui PO=4, panjang PQ=5, dan QO=6.

Nah perhatikan perbandingan masing-masing sisi yang bersesuaian.

\frac{AB}{PO}=\frac{8}{4}=\frac{2}{1}

\frac{AC}{PQ}=\frac{10}{5}=\frac{2}{1}

\frac{CB}{QO}=\frac{12}{6}=\frac{2}{1}

Nah, karena nilai semua perbandingannya sama, jadi kedua segitiga tersebut sebangun. Semoga faham ya.

Non-Contoh Kesebangunan

Sekarang yang bukan kesebangunan. Berikut ini gambarnya.

contoh dan non-contoh kesebangunanIni contohnya terlalu jelas ya, jelas tidak sebangunnya. Hahaha Faham kan tapi? Karena sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar, apalagi sisi-sisinya.

Digambar segitiga KLM, hanya \angle MKL yang sama dengan \angle ABC, lainnya berbeda.

Sudah faham ya, bagaimana sebangun dan tidak? Tetap tanyakan ya kalau masih belum faham. Karena cara menjelaskan saya mungkin yang ndak baik, jadi yang membaca tidak faham. Semangat belajar terus ya, kalian akan menikmati hasil kerja keras kalian di masa mendatang. Itu sangat memuaskan lho!🙂

Pembuktian rumus sudut antara dua tali busur berpotongan di dalam dan di luar lingkaran

Liat notifikasi, ada yang nanya tentang bukti rumus sudut antara dua tali busur berpotongan di dalam dan di luar lingkaran. Jadi ini saya tuliskan pembuktiannya. Semoga bermanfaat ya.

Bukti rumus sudut dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran

Dasar pembuktian ini adalah dari pernyataan berikut ini.

\angle RPQ=\frac {1}{2} \angle ROQ

\angle SQP =\frac {1}{2} \angle SOPsudut antara dua tali busur berpotongan di dalam

Langsung saja ya pembuktiannya, berikut ini prosesnya :

Berangkat dari dua pernyataan di atas, selanjutnya kita akan membuktikan rumus di gambar atas.

\angle STP =180^0 - \angle PTQ

Maka diperoleh selanjutnya ,

180^0 - (180^0 -\angle TPQ-\angle TQP)

180^0 - 180^0 +\angle TPQ + \angle TQP

\angle TPQ + \angle TQP

Perhatikan bahwa \angle TPQ = \angle RQP dan TQP =\angle RQP, sehingga jelas bahwa diperoleh hasil sebagai berikut ini karena dua pernyataan yang saya sebutkan di awal-awal.

\frac{1}{2}\times (\angle QOR +\angle SOP)

Sehingga terbukti sudah rumusnya.

Bukti sudut antara dua tali busur berpotongan di luar

Sekarang, membuktikan rumus satunya, dengan kasus yang berbeda

Pembuktian sudut Lingkaran-1898253926

Langsung saja ya, untuk kasus yang satu ini, pada dasarnya sama saja kog. Berikut ini pembuktiannya.

 Kamu masih ingat kan rumus sudut luar segitiga sama dengan jumlah dari dua sudut dalam yang berjauhan, nah ini di pakai untuk membuktikan rumus ini. Dengan umus ini, sehingga dari segitiga $ latex SPR$ diperoleh.

\angle TSP =\angle SPR + \angle PRS

Sehingga diperoleh

\angle TSP = \angle SPR +\angle PRS

Seperti langkah yang diatas, di sini saya punya dua pernyataan berikut ini.

\angle TSP =\frac {1}{2}\angle TOP

\angle SPQ = \frac {1}{2}\angle SOQ

Jadi diperolehlah

\angle PRS=\angle SPR -\angle TSP

\angle PRS=\frac {1}{2} \times (\angle SOQ - \angle TOP)

Usai sudah pembuktian, oia, yang teliti ya mempelajarinya, hurufnya sengaja saya susun berbeda, tapi sam kog, misal \angle SOP, saya rubah jadi \angle POS. Jadi, yang teliti ya, pasti faham. Selamat belajar. Salam sukses dan kerja cerdas.🙂

by :

Jual madu murni surabaya, madu hutan riau

Alhamdulillah, menemukan jalan lain untuk memanfaatkan blog ini, selain untuk sarana berbagi belajar, saya memanfaatkan juga untuk berjualan jasa maupun barang. Barang yang saya jual ini adalah madu asli yang didatangkan dari Riau kemudian saya jual di Sidoarjo, karena kebetulan kakak kandung saya bertempat tinggal di Riau dan tahu tempat pembelian madu langsung dari petaninya.

Setelah bersusah payah mengambil madu di Jogjakarta pada malam H-1 lebaran, tepatnya di terminal Giwangan Jogjakarta, saya menunggu kedatangan Bus  yang dititipi madu seberat 50 Kg lebih (saya lupa nama Busnya, kalo ga salah Handoyo :D). Kebetulan juga jembatan Cibaruyan longsor, sehingga dengan mengucapkan Alhamdulillah saya menginap di terminal Giwangan Jogjakarta, selama 2 hari 2 malam.

Madu Liar [Madu Hutan] Asli

Ah, prolog di atas itu pengalaman suram, langsung saja saya perkenalkan produk alam yang saya jual ini, Madu Liar [madu hutan] asli yang saya datangkan dari Riau. Berikut ini pictnya, silahkan dilihat – lihat.

madu liar [hutan] asli

madu liar [hutan] asli

Continue reading

Apa itu koordinat kartesius

Banyak yang sudah tahu apa itu koordinat kartesius karena mulai dari kelas 6 SD kita sudah diperkenalkan tentang koordinat kartesius. But, apakah kita pernah diberikan cerita tentang bagaimana sebenarnya koordinat kartesius sejarahnya dan apa manfaatnya. Nah kali ini saya menuliskan tentang sejarah singkat koordinat kartesius ini.

descartes koordinat kartesius mahinmuhammad

sumber : slidesharecdn.com

Koorinat kartesius (Cartesian coordinates/orthogonal coordinates)

Dalam bahasa inggris dituliskan Cartesian coordinates/orthogonal coordinates yang mana cartesian diambil dari kata nama penemunya dalam bahasa Latin. Nama penemunya adalah Rene Descartes (1596-1650), di karya terkenalnya pada tahun 1637, La geometrie (Geometri), seorang matematikawan dan filusuf dari Perancis, pada abad 17, yang dalam bahasa latinnya dia memiliki nama Cartesius. Penemuan ini merupakan salah satu penemuan yang memberikan satu pukulan yang bagus untuk mempercepat perkembangan ilmu matematika. Why, karena sistem koordinat kartesius (Cartesian Coordinates System) ini memiliki peran dalam menyatukan Geometri dan Aljabar. Bagaimana bisa dikatakan seperti itu? koordinat kartesius menyajikan sebuah cara dalam merepresentasikan setiap titik pada bidang datar melalui pasangan-pasangan bilalngan, lebih jelasnya di bawah akan muncul tulisan mengapa ini bisa terjadi. Continue reading