APA ITU BUKTI PADA MATEMATIKA

Apa itu bukti pada matematika? mungkin pertanyaan yang muncul pertama kali saat bertemu kalimat pertanyaan dan diperintahkan untuk membuktikannya.

Matematika layaknya manusia, keduanya memiliki pertanyaan dasar yang sama yaitu “apa” dan ” bagaimana”. “Apa” merupakan sesuatu yang dasar pada Matematika, yang ruang lingkupnya dari bolanhan sampai geometri ke kalkulus dan lainnya.”Bagaimana” tergantung pada siapa yang menekuni Matematika. Pada tingkat dasar, misalkan SD, ketika siswa belajar tentang aljabar dan geometri, siswa dihadapkan dengan segala sesuatu yang nyata dan jelas. Pada tingkat yang lebih tinggi belajar aljabar dan geometri akan akan menjadi lebih abstrak. Pelajar akan berhadapan dengan permasalahan pembuktian sesuatu, apakah sesuatu itu benar atau salah. Misalkan pada geometri dan juga pada aljabar. Bagi Matematikawan, tidak ada sekat dan perbedaan yang nyata dari cara mengerjakan geometri dan mengerjakan aljabar. Pada Matematika, semuanya dikembangkan secara aksiomatis dan semua fakta harus dibuktikan dengan setepat-tepatnya. Metode pembuktian yang tepat versi kontemporer (yang terkini) berbeda dengan pembuktian dua kolom yang terkadang digunakan saat SMA untuk membuktikan geometri, hal ini adalah konsteks dari “bagaimana” tadi. Pembuktian sendiri memiliki beberapa tipe.

Misalkan akan membuktian p\rightarrow q, berikut ini Beberapa tipe pembuktian yang dapat diterapkan,

Trivial Proof : sesuai dengan artinya yaitu bukti yang remeh atau bukti sepele maka nilai kebenaran dari implikasi tersebut adalah jelas dengan kata lain tidak perlu dibuktikan.

Vacous Proof : jika p adalah gabungan dari hipotesis lainnya dan diketahui satu atau lebih dari hipotesis ini salah, maka p salah dan juga p\rightarrow q jelas bernilai benar karena nilai kebenaran dari q.

Direct Proof : pembuktian ini diawali dengan mengasumsikan p, kemudian dengan menggunakan aksioma, definisi, dan logika ekivalen untuk membuktikan q.

Direct Proof or Contradiction Proof : pembuktian ini diawali dengan mengasumsikan p dan \neg q dan memunculkan kontradiksi r \land \neg r.

Proof by Contrapositive : (kasus khusus dari pembuktian kontradiksi.) bukti ini menyajikan bukti langsung dari \neg q\rightarrow \neg p. Asumsikan \neg q dan kemudian menggunakan aksioma, definisi, dan logika ekivalen untuk menunjukkan \neg p. (Bukti ini merupakan bentuk dari pembuktian kontradiksi ketika mengasumsikan p dan \neg q dan memunculkan kontradiksi pada p\land\neg p.)

Proof by Cases : jika hipotesis p dapat dipisahkan dalam beberapa kasus p_1 \lor p_2 \lor ... \lor p_k, membuktikan setiap pernyataan tersebut, yaitu, p_1\rightarrow q,p_2\rightarrow q,...,p_k\rightarrow q secara terpisah. Dalam kasus lain sangat memungkinkan menggunakan metode pembuktian yang berbeda.

Setelah mengetahui beberapa jenis pembuktian, selanjutny akan dimunculkan beberapa permasalahan dan juga cara membuktikannya.

A. Trivial Proof/Vacuous Proof

Contoh : Buktikan pernyataan berikut : Jika ada 100 siswa terdaftar di dalam kelas A, maka 6^2=36.

Bukti : Pernyataan yang jelas seperti pernyataan ini pasti jelas benarnya (hal yang remeh), sebab kesimpulannya adalah benar, hipotesis yang tidak saling bergantung (yang mana, mungkin benar atau mungkin tidak benar bergantung pada pendaftarannya). \Box

B. Direct Proof

Contoh : Buktikan pernyataan berikut: Untuk semua bilangan bulat m dan n, jika m dan n adalah bilangan ganjil, maka m+n adalah bilangan genap.

Bukti : Asumsikan m dan n merupakan sebarang bilangan bulat ganjil. Maka m dan n dapat dituiskan dalam bentuk

m=2a+1 dan  n=2b+1,

dimana a dan  b merupakan bilangan bulat. Kemudian

m+n=(2a+1)+(2b+1) (subtitusi)

=2a+2b+2 (asosiatif dan komutatif dari penjumlahan)

=2(a+b+1) (distributif)

Karena m+n  merupakan kelipatan dari dua buah sebarang bilangan bulat, yaitu  a+b+1m+n adalah bilangan genap.  \Box

C. Proof by Contrapositive

Contoh : Buktikan pernyataan berikut ini: Untuk semua bilanagan bulat m dan n, jika hasil dari perkalian m dan n genap, maka m atau n genap.

Bukti : Misalkan bahwa m dan n sebarang bilangan bulat ganjil. Kemudian m=2a+1 dan n=2b+1, dimana a dan b adalah bilangan bulat. Maka

mn=(2a+1)(2b+1) (subtitusi)

=4ab+2a+2b+1 (asosiatif, komutatif, dan distributif)

=2(ab+a+b)+1 (distributif)

Karena mn merupakan kelipatan dua dari dua buah bilangan bulat ditambah satu (yaitu 2a+a+b+1), mn ganjil. \Box

D. Proof by Cases

Contoh : Jika x\in\mathbb{R} sedemikian hingga bahwa \frac{x^2-1}{x+2}>0, maka x>1 atau -2<x<-1.

Bukti : Asumsikkan bahwa x\in\mathbb{R} yang memenuhi pertidaksamaan

\frac{x^2-1}{x+2}>0

Memfaktorkan pembilang dari pecahan tersebut sehingga diperoleh

\frac{(x+1)(x-1)}{x+2}>0.

Dari beberapa faktor yang diperoleh, yaitu x+1,x-1), dan x+2 haruslah positif, apakah semuanya bernilai positif atau dua negatif dan lainnya adalah positif. Ini memunculkan kasus sebagai berikut;

Kasus 1. x+1>0, x-1>0, dan x+2>0. Pada kasus ini diperoleh x>-1, x>1, dan x>-2, yang mengakibatkan x>1.

Kasus 2. x+1>0, x-1<0, dan x+2<0. Pada kasus ini diperoleh x>-1, x<1, dan x<-2, dan dari sini tidak x yang memenuhi ketiga persamaan secara bersamaan.

Kasus 3. x+1<0, x-1>0, dan x+2<0. Pada kasus ini diperoleh x<-1, x>1, dan x<-2, dan dari sini tidak x yang memenuhi ketiga persamaan secara bersamaan.

Kasus 4. x+1<0, x-1<0, dan x+2>0. Pada kasus ini diperoleh x<-1, x<1, dan x>-2, yang mengakibatkan -2<x<-1.

Jadi, solusi yang memenuhi adalah x>1 (pada kasus 1) atau -2<x<-1 (kasus 4). \Box

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s