MENGHITUNG PANJANG GULUNGAN atau ROLL-SPIRAL

Menghitung panjang gulungan (Roll, secara matematika disebut “spiral”) kain, kertas, atau benda apapun hanya dengan menghitung diameter yang masih dalam keadaan tergulung sangatlah bermanfaat bagi seseorang yang bisnis di bidang perkainan, lembaran plat, kertas, dan semacamnya.

Jute fabric roll

Dalam menghitung panjang gulungan kain (misalkan kasusnya kain saja ya, lainnya mengikuti) diperlukan rumus yang menghasilkan perhitungan dengan nilai error yang sekecil mungkin. Menemukan rumus itu cukup rumit kalau saya mencoba menurunkan sendiri, berikut ini perhitungan saya sendiri yang terhambat. Misalkan saya memiliki spiral berikut ini,

gulungan - spiral

Spiral A saya misalkan menjadi lingkaran – lingkaran yang bertumpuk – tumpuk (bener ga sih bahasanya? :D), yaitu gambar B. Dengan a adalah jarak setiap lingkaran pertama (baca lingkaran terluar) sampai lingkaran yang terakhir. Dari permisalan tersebut saya menghitung keliling dari masing – masing lingkaran pada grafik B, sehingga perhitungannya saya daftar sebagai berikut ini,

Misalkan L_1 keliling lingkaran terluar dan L_2 lingkaran yang berada tepat di dalam setelah L_1, lingkaran selanjutnya mengikuti dengan merubah indeksnya.

L_1 = \pi 16a, 16a merupakan diameter lingkaran terluar diperoleh dengan menjumlahkan a.

L_2 = \pi 14a

L_3 = \pi 12a

L_4 = \pi 10a

L_5 = \pi 8a

L_6 = \pi 6a

L_7 = \pi 4a

L_8 = \pi 2a

Sehingga panjang spiral A diperoleh dengan cara menjumlahkan semua keliling lingkaran tersebut sebagai berikut,

L_{spiral} = L_1 + L_2 + L_3 + L_4 + L_5 +L_6 + L_7 + L_8

 = \pi 16a +\pi 14a + \pi 12a + \pi 10a + \pi 8a + \pi 6a + \pi 4a + \pi 2a

= \pi 72a

Sampai sini saya bingung dan tidak yakin sama sekali apakah jawaban saya benar >_< . Saya bingung menemukan rumus umumnya dan akhirnya saya googling menemukan jawaban yang saya cari, langsung saja saya tulis ulang di blog saya ini. Kesalahan saya yang di atas anggap saja kucing berlalu.

Menemukan rumus umumnya cukup rumit ternyata, karena menggunakan rumusnya Bapak Gauss, Integral, dan Turunan.

PENURUNAN RUMUS DENGAN PENDEKATAN

Sebelumnya saya ingin memperjelas kata “pendekatan” di atas. Pendekatan di sini adalah nilai pajang spiral dihitung dengan perkiraan, nah perhitungan di sini pendekatannya terhadap nilai dari diameter lingkarannya. Langsung saja, berikut penjelasannya.

Agar terasa lebih mudah, misal spiral A merupakan barisan dari lingkaran konsentris (lingkaran dengan pusat yang sama) dimana besar jari-jari lingkaran bertambah sesuai ketebalan kainnya (ingat, kita di sini menggunakan kain). Nilai error akan sangat kecil atau kesalahan akan minimal jika ketebalan kain lebih kecil dari pada diameter lingkaran terdalam.

gulungan kain

gulungan kain

Misalkan D_0 diameter lingkaran dalam, D_1 diameter lingkaran luar, N adalah banyaknya putaran (baca gulungan) kain, dan h ketebalan kain. Langkah pertama di hitung banyaknya gulungan kain dengan rumus berikut, N= \frac{{D_1}-{D_0}}{2h} Keliling dari gulungan pertama \pi D_0, gulungan yang ke dua \pi ({D_0} + 2h), gulungan yang ke tiga \pi ({D_0}+4h), dan seterusnya sampai N^{th} atau gulungan ke N yang memiliki keliling \pi ({D_0}+2(N-1)h). Sehingga jumlah total kelilingnya dituliskan, L_{spiral} = \pi (D_0 + D_0 + 2h + D_0 + 4h + D_0 + \cdots + D_0+2(N-1)h L_{spiral} = \pi (ND_0 + 2h(1 + 2 + \cdots + (N-1)))   Selanjutnya, rumus Gauss disini berperan dalam menyederhanakan bentuk berikut {1 + 2 + \cdots + (N-1)} = \frac{N(N-1)}{2}. Nah, tahap akhir ini diperoleh rumusnya adalah L_{spiral} = \pi N(D_0 + h(N-1)).

Dari proses ini saya dapat menyimpulkan bahwa kesalahan saya di atas adalah pada proses menggunakan diameternya, meskipun saya merasa 10% sudah tahu arah dan tujuannya, tapi tetap saja saya masih salah. Nilai terpenting di sini adalah semangat untuk belajar dan berkembang terus.

Untuk penurunan rumus yang menggunakan turunan dan integral akan saya tulis di kategori integral ya… Semoga bermanfaat. Selamat belajar.

2 thoughts on “MENGHITUNG PANJANG GULUNGAN atau ROLL-SPIRAL

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s