Materi Himpunan lengkap SMP [Part 2]

Posted on by

3

Postingan ini merupakan kelanjutan tulisan saya part 1, sekarang adalah materi himpunan lengkap SMP part 2. Sebelumnya sudah saya tulis tentang apa itu himpunan, notasi yang seringkali digunakan untuk tingkat SMP. Langsung saja ya masuk ke intinya. 🙂

Salam Kerja Cerdas, Kerja Keras, dan Sukses.

Materi Himpunan lengkap SMP [Part 2]

Tulisan ini akan membahas :

1. Konsep himpunan bagian. 2. Konsep irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen. 3. Latihan soal.

1. Konsep Himpunan Bagian

Definisi : Diberikan dua himpunan A dan himpunan B, dikatakan A adalah himpunan bagian dari B jika setiap anggota himpunan A a adalah anggota himpunan B. [Kenneth R. Davidson & Allan P. Donsig, 2002]

Dapat juga ditulis, A adalah himpunan bagian dari himpunan B jika “a\in A sedemiakian hingga a\in B“.

Jika saya memiliki himpunan buah apel merah dinotasikan dengan A dan himpunan buah-buahan dinotasikan dengan B maka A\subset B. Artinya semua apel merah adalah buah-buahan.

Nah, jika saya memiliki himpunan bayam dinotasikan dengan S dan himpunan buah-buahan B maka S\subsetneqq B, karena sawi merupakan himpunan bagian dari sayur-sayuran.

Selanjutnya, jika saya memiliki himpunan N = {n}, M = {n,m}, dan P = {a,b,c}, berapa banyak himpunan bagian dari masing-masing himpunan tersebut? tuliskan semua himpunan bagian dari masing-masing himpunan tersebut !. Caranya adalah, kita harus mendaftar semua himpunan yang anggotanya juga merupakan anggota himpunan N, M, dan P. Himpunan itu adalah :

Himpunan bagian dari himpunan N : Ingat bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.

  1. \emptyset
  2. N_{1}={{n}}

Himpunan bagian dari himpunan M :

  1. \emptyset
  2. M_{1}={{ n}}
  3. M_{2}={{m}}
  4. M_{3}={{n,m}}

Himpunan bagian dari himpunan P :

  1. \emptyset
  2. P_{1}={{a}}
  3. P_{2}={{b}}
  4. P_{3}={{c}}
  5. P_{4}={{a,b}}
  6. P_{5}={{a,c}}
  7. P_{6}={{b,c}}
  8. P_{7}={{a,b,c}}

Perhatikan bahwa himpunan N banyak anggotanya ada 1 dengan banyak himpunan bagiannya ada 1, M anggotanya ada 2 dengan banyak himpunan bagiannya ada 4, P anggotanya ada 3 dengan banyak himpunan bagiannya ada 8, jadi jika kita tulis adalah 1 untuk himpunan beranggotakan 1, 4 untuk himpunan beranggota 2, dan 8 untuk himpunan beranggota 3, selanjutnya berati jika kita punya himpunan dengan banyak anggotanya ada 4 berapakah banyak himpunan bagiannya? banyak himpunan bagiannya adalah 16. Ini dapat dilihat dengan pola yang kita ketahui tadi, sehingga kita punya rumus untuk menentukan banyak himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2^{[a]}, dengan a banyak anggota himpunan tersebut. Jadi untuk selanjutnya kita gunakan rumus,

Banyak himpunan bagian dari suatu himpunan dengan banyak anggota adalah a dirumuskan 2^{[a]}.

himpunan bagian

Contoh :

1. Tentukan berapa banyak himpunan bagian dari himpunan Z={{q,g,r,s,t,e,k,a}}?

Jawab :

1. Dengan menggunakan rumus di atas sehingga kita peroleh 2^{8}=256. 8 adalah banyak anggota Z. Jika disuruh mendaftar siapa saja himpunan tersebut, silahkan didaftar sendiri ya, ada 256 himpunan, capek. :D.

2. Konsep irisan, gabungan, kurang (difference) dan komplemen.

Ada beberapa cara untuk meng -combine atau mengkombinasikan beberapa himpunan dehingga menjadi himpunan baru. Dua cara yang sangatlah penting untuk difahami dan seringkali digunakan adalah gabungan (union) dan irisan (intersection). Selain itu juga perlu difahami untuk kurang (difference) dan komplemen.

a. Konsep Irisan

 Definisi : Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan baru yang memuat anggota yang ada pada kedua himpunan tersebut. [Kenneth R. Davidson & Allan P. Donsig, 2002]

Dengan kata lain, himpunan baru tersebut adalah himpunan  semua anggota A yang menjadi anggota B. Dinotasikan A\cap B. Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan adalah : A\cap B = {x\mid x\in A dan x\in B}.

Contoh : 1. A = {{4,6,8,9,10}} \cap B = {{1,4,9,16}} = {{4,9}} Jika dalam gambar seperti berikut ini, irisan   Pada gambar di atas, yang diarsir merupakan A\cap B. Gambar di atas disebut sebagai diagram venn.

Venn Diagram : A schematic diagram used in logic theory to depict collections of sets and represent their relationships.

Kurang lebih jika diartikan dengan bahasa saya, diagram venn adalah diagram yang digunakan untuk merepresentasikan semua hubungan dari dua buah himpunan atau lebih yang memungkinkan terjadi dan bernilai benar.

Berikut ini beberapa kasus yang mungkin terjadi pada himpunan.

1. Himpunan saling lepas

himpunan saling lepas

Irisan dari himpunan yang saling lepas adalah himpunan kosong \emptyset. 2. Himpunan tidak saling lepas

irisan 3. Himpunan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan yang lain

himpunan bagian 4. Himpunan sama

himpunan sama

Kurang lebih beginilah contoh diagram venn, saya yakin semuanya pasti bisa. Dan pernyataan berikut ini juga perlu untuk difahami dan diingat.

Jika A\subset B maka A\cap B=A

Jika A=B maka A\cap A=B=A

2. Konsep gabungan

Definisi : Gabungan dari dua himpunan A dan himpunan B adalah himpunan baru yang memuat anggota kedua himpunan tersebut. [Kenneth R. Davidson & Allan P. Donsig, 2002]

Dapat ditulis dengan notasi A\cup B. Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan adalah : A\cup B = {x\mid x\in A atau x\in B}.

gabungan dua himpunan

Gambar di atas adalah B\cup A jika digambarkan dalam bentuk diagram venn. Berikut ini pernyataan yang juga perlu diingat dan difahami.

Jika A\subset B maka A\cup B=B

Jika A=B maka A\cup B=A=B

Sudah faham ya perbedaan irisan dan gabungan.

3. Konsep komplemen

Definisi : Misalkan \mathbb{Z} adalah himpunan semesta dan ada himpunan A\cup \mathbb{Z}, komplemen himpunan A adalah semua koleksi  himpunan di $latex \mathbb{Z}$ yang tidak di $latex A$.

Notasi yang digunakan untuk komplemen himpunan A adalah menggunakan notasi A'. Jika dituliskan dengan pembentuk notasi himpunan A'={x\in\mathbb{Z} : x\notin A}.

komplemen himpunan

Gambar di atas merupakan gambar diagram venn dari komplemen himpunan M, dimana M={IPA, MATEMATIKA}. Sehingga anggota M' adalah semua mata pelajaran selain IPA dan MATEMATIKA.

Berikut ini hubungan himpunan komplemen dan semestanya,

M\cap M = \emptyset

M\cap M'=S

n(M)+n(M')=n(S)

4. Konsep kurang (difference) / selisih dua himpunan

Definisi : Selisih dari dua himpunan didefinisikan dengan notasi pembentuk himpunan A\backslash B = {x : x\in A dan x\notin B}. Dibaca, semua anggota A tapi bukan anggota B.
Selisi dua himpunan juga equivalen dengan komplemen himpunan. E'\equiv { F:F\in S, F\notin E}, jika ditulis dengan menggunakan notasi selisih dua himpunan E'=S\backslash E.

Contoh :

1. Diketahui P={1,3,5} dan Q={2,1,4,6}. Maka P-Q={3,5}.

Nah ini Part 2 yang sudah selesai. Selanjutnya akan saya tulis tentang soal-soal UN tentang Himpunan. Semoga bermanfaat.

3 thoughts on “Materi Himpunan lengkap SMP [Part 2]”

  1. Pingback: Materi Himpunan lengkap SMP [Part 1] | MahinMuhammad

Leave a comment