apa sih matrik itu? dan matrik orthogonal itu bagaimana?

Saya menulis ini, selain karena ada yang request untuk mengulas tentang matrik ortogonal. Saya berfikir bahwa saya masih banyak tidak menguasai tentang matrik, jadi saya putuskan untuk menulis dari awal tentang matrik. Mungkin tentang matrik ortogonal akan saya pelajari dan saya tulis setelah saya memahami dari dasar, tentang apa itu matrik. Tepatnya setelah saya menulis definisi matrik ini, muncul definisi matrik ortogonal.

Definisi Matrik

Sebelum masuk ke aplikasinya, alangkah tepat jika saya memulainya dengan menulis definisi matrik itu sendiri. Seingat saya matrik adalah susunan bilangan yang disusun sedemikian hingga. Kalimatnya tidak bagus ya, jadi ini saya tulis definisi dari Encyclopedia of Mathematics page 329.

Definition :

matrix (plural, matrices) A rectangular array of numbers displayed in rows and columns and enclosed
in parentheses is called a matrix.

(In science, the word matrix is used to describe the background material, soil or rock, that holds an object such as a fossil or a crystal in place. In mathematics, the word is used to describe an array that “holds” numbers in place.) An m\times n matrix has m rows and n columns.

Menggunakan pemahaman saya, berikut ini definisi matrik.

Definisi :

matrix (jamak, matrices) Sebuah susunan dalam bentuk persegi empat dari bilangan-bilangan yang ditampilkan menjadi baris dan kolom dimana susunan tersebut ditutup dalam kurung (…) atau […] disebut matriks. Umumnya sih menggunakan […].

(Dalam ilmu sains, kata matrix digunakan untuk menggambarkan susunan dasar dari materi, tanah atau bebatuan, yang mengandung sesuatu seperti fosil atau kristal di suatu tempat. Dalam matematika, kata tersebut digunakan untuk menggambarkan sebuah susunan yang mengandung” bilangan di suatu tempat.) Dimana m\times n matrix memiliki arti m baris dan n kolom.

Continue reading

Advertisements

Apa itu koordinat kartesius

Banyak yang sudah tahu apa itu koordinat kartesius karena mulai dari kelas 6 SD kita sudah diperkenalkan tentang koordinat kartesius. But, apakah kita pernah diberikan cerita tentang bagaimana sebenarnya koordinat kartesius sejarahnya dan apa manfaatnya. Nah kali ini saya menuliskan tentang sejarah singkat koordinat kartesius ini.

descartes koordinat kartesius mahinmuhammad

sumber : slidesharecdn.com

Koorinat kartesius (Cartesian coordinates/orthogonal coordinates)

Dalam bahasa inggris dituliskan Cartesian coordinates/orthogonal coordinates yang mana cartesian diambil dari kata nama penemunya dalam bahasa Latin. Nama penemunya adalah Rene Descartes (1596-1650), di karya terkenalnya pada tahun 1637, La geometrie (Geometri), seorang matematikawan dan filusuf dari Perancis, pada abad 17, yang dalam bahasa latinnya dia memiliki nama Cartesius. Penemuan ini merupakan salah satu penemuan yang memberikan satu pukulan yang bagus untuk mempercepat perkembangan ilmu matematika. Why, karena sistem koordinat kartesius (Cartesian Coordinates System) ini memiliki peran dalam menyatukan Geometri dan Aljabar. Bagaimana bisa dikatakan seperti itu? koordinat kartesius menyajikan sebuah cara dalam merepresentasikan setiap titik pada bidang datar melalui pasangan-pasangan bilalngan, lebih jelasnya di bawah akan muncul tulisan mengapa ini bisa terjadi. Continue reading

Error dan matematika

Seringkali kita mengucapkan kata error di dalam kehidupan sehari-hari, tapi apakah kita tahu apa error itu kalau di dalam Matematika?. Berdasarkan buku The Encyclopedia of Mathematics, selisih antara nilai pendekatan dari suatu jumlah dan nilai numerik yang sebenarnya dari jumlah tersebut disebut sebagai “ERROR”. Agak membingungkan ya kalimatnya? atau sangat membingungkan?. Langsung saja ke contoh ya.

error dalam matematika

sumber : mathcity.org

Error dalam matematika

Sebelum ke contoh, dalam beberapa buku/literatur memiliki perbedaan untuk menyatakan definisi error tersebut, jika x adalah nilai pendekatan dari X, maka beberapa buku tersebut menuliskan dengan hasil dari X-x ketika menyatakan error, dan kemudian lainnya menuliskan dengan cara x-X. Jadi agar tidak ada hal yang membingungkan ketika membaca literatur yang berbeda maka dimunculkanlah “absolute error”, |X-x|. Misalkan 5,6 adalah nilai pendekatan dari 5,59, maka errornya adalah 0,01 atau -0,01, dengan menggunakan tanda harga mutlak, kebingungan ini tidak menjadi masalah lagi. Continue reading

Biografi John Louis von Neumann

Karena saya mengganti header saya dengan quote – nya Neumann. Saya jadi ingin menulis biografi sedikit tentang siapa John Louis von Neumann. Seorang ilmuan yang lahir pada tanggal 28 Desember 1903 di Budapest, Hongaria dan dia meninggal pada tanggal 8 Februari 1957 di Washington DC.

biografi von neumann

Von Neumann adalah seorang matematikawan yang jenius. Neumann kecil dianggap sebagai anak ajaib karena dia saat umur 6 tahun memiliki kemampuan menghafal yang luar biasa. Pada usia enam tahun, ia mampu bertukar lelucon dengan ayahnya tentang Yunani klasik. Kadang-kadang, keluarga Neumann menghibur tamu dengan demonstrasi kemampuan Johnny [panggilan Neumann] untuk menghafal buku telepon. Seorang tamu akan memilih halaman dan kolom dari buku telepon secara acak. Johnny muda membaca kolom selama beberapa kali, kemudian menyerahkan buku kembali ke tamu. Dia bisa menjawab pertanyaan yang diajukan kepadanya (yang memiliki nomor ini dan itu?) Atau membacakan nama, alamat, dan nomor secara berurutan. Continue reading

KETELITIAN DAN KESADARAN MATEMATIKA

Pada matematika ada hal-hal penting yang diperlukan untuk mempelajari matematika, ketelitian dan kesadaran pada metematika itu sendiri  karena :

  1. Ketelitian, poin ini sangatlah penting, kenapa? karena saat mengerjakan suatu permasalahan pada matematika seringkali kita dihadapkan dengan persoalan yang terlihat sangat rumit padahal ketika kita cukup teliti melihat soal tersebut kita akan menemukan kunci sehingga dapat menemukan solusi nya dalam waktu sekian detik saja. Ini pengalaman saya sendiri saat saya diberi soal oleh teman saya, begini soalnya : (a-k)\times (b-k)\times ...\times (z-k)=.... Saya sepontan menjawab dengan jawaban a.b.c.d...z + k(a.b.c....z) + k^26 dan teman saya menyalahkan kemudian memberikan jawabannya, yaitu 0. Saya masih belum yakin dengan jawaban tersebut, bagaimana mungkin bisa ketemu 0, saya mencoba menjabarkan seperti ini :
    (a-k)\times(b-k)=a.b-a.k-b.k+k^2
    (a-k)\times(b-k)\times(c-k)=(a.b-a.k-b.k+k^2)\times(c-k)
    =(a.b.c)-a.c.k-b.c.k-a.b.k+a.k^2+b.k^2-k^3 dan seterusnya.
    Saya berfikir bahwa bentuknya akan selalu dalam bentuk penjumlahan dan pengurangan yang tidak akan ada yang sama sehingga saling mengurangi. Selain itu saya berfikir juga bahwa tidak akan pernah sama dengan nol meskipun k=0. Betapa bodohnya saya ketika saya menyadari bahwa soal tersebut menipu saya dan saya mau ditipunya. Parahnya lagi, saya mengupload hasil kerja saya dan dengan PD-nya saya mengatakan tidak akan pernah sama dengan nol. Karena saya tidak memperhatikan bahwa ada kunci permasalahan yang mengecohkan saya sehingga saya tidak mengetahui di mana dia berada, yaitu (k-k) dan soal tersebut merupakan soal perkalian biasa. Inilah mengapa ketelitian sangat diperlukan dalam mempelajari matematika. Ketelitian di sini adalah memahami persoalan secara utuh dan menelaah soal secara utuh juga. Saya hanya melihat bentuk awalnya yaitu (a-k)\times(b-k)\times ... \times(z-k), tidak pernah menyadari bahwa k merupakan abjad yang terdapat di dalam soal tersebut. Jadi intinya, telitilah!
  2. Kesadaran. Mungkin bingung saat membaca kesadaran di sini sebagai poin penting dalam belajar matematika. Saya memilihnya sebagai hal yang penting karena kesadaran akan kemampuan dalam diri sendiri harus disadari. Dalam hal ini kita mampu mengukur sejauh mana kita menguasai suatu permasalahan pada matematika. Sehingga kita akan terus mencari artikel-artikel, jurnal-jurnal, ataupun karya ilmiah dan kemudian mengkajinya secara detail sebagai salah satu proses dalam meningkatkan kemampuan analisis permasalahan pada matematika. Intinya, sadarlah!

Continue reading

Sejarah Bilangan Rasional

Ada teman yang bertanya tentang perpangkatan negatif, yaitu a{-1}. Ini mengenai (menyinggung sejarah) anggota dari himpunan bilangan Rasional yang biasanya dinotasikan dengan \mathbb{Q}. Teman saya bertanya mengapa a^{-1}=\frac{1}{a}? dan saya kemudian menjawab, karena itu kesepakatan oleh para matematikawan. Teman saya bertanya lagi, “kalau saya seorang matematikawan apa boleh saya mengganti definisi tersebut?”. Saya menjawab boleh asalkan tidak bertentangan dengan definisi-definisi sebelumnya dan tidak bertentangan dengan logika pada matematika yang telah disepakati secara universal.

Bagaimana a^{-1} bisa muncul?. Ketika saya membaca buku Analisis Real karangan Bartle, saya mencoba memahami bagaimana asal mulan munculnya a^{-1} dan berikut ini penjelasan versi saya setelah membaca buku Bartle. Continue reading

APA ITU BUKTI PADA MATEMATIKA

Apa itu bukti pada matematika? mungkin pertanyaan yang muncul pertama kali saat bertemu kalimat pertanyaan dan diperintahkan untuk membuktikannya.

Matematika layaknya manusia, keduanya memiliki pertanyaan dasar yang sama yaitu “apa” dan ” bagaimana”. “Apa” merupakan sesuatu yang dasar pada Matematika, yang ruang lingkupnya dari bolanhan sampai geometri ke kalkulus dan lainnya.”Bagaimana” tergantung pada siapa yang menekuni Matematika. Pada tingkat dasar, misalkan SD, ketika siswa belajar tentang aljabar dan geometri, siswa dihadapkan dengan segala sesuatu yang nyata dan jelas. Pada tingkat yang lebih tinggi belajar aljabar dan geometri akan akan menjadi lebih abstrak. Pelajar akan berhadapan dengan permasalahan pembuktian sesuatu, apakah sesuatu itu benar atau salah. Misalkan pada geometri dan juga pada aljabar. Bagi Matematikawan, tidak ada sekat dan perbedaan yang nyata dari cara mengerjakan geometri dan mengerjakan aljabar. Pada Matematika, semuanya dikembangkan secara aksiomatis dan semua fakta harus dibuktikan dengan setepat-tepatnya. Metode pembuktian yang tepat versi kontemporer (yang terkini) berbeda dengan pembuktian dua kolom yang terkadang digunakan saat SMA untuk membuktikan geometri, hal ini adalah konsteks dari “bagaimana” tadi. Pembuktian sendiri memiliki beberapa tipe. Continue reading

MENULIS MATEMATIKA

MENULIS MATEMATIKA, cukup aneh bukan judulnya.

Mustahil untuk memisahkan kekakuan Matematika dalam menuliskan bukti yang tepat, “kaku” di sini mengartikan bahwa Matematika merupakan ilmu yang secara universal sepakat sebagai ilmu yang lebih mengedepankan logika dengan runtutan yang jelas dan tidak bertentangan dengan definisi-definisi yang digunakan di dalamnya. Penulisan Matematika atau paper ilmiah tentang Matematika yang baik diperlukan untuk mempertahankan alur logika dari suatu argumen yang ditulis, untuk menunjukkan kekonsistenan Matematika, dan banyak lagi. Seorang pembaca tidak mungkin akan menggunakan suatu tulisan Matematika sebagai literatur jika tulisan tersebut dalam penggunaan bahasa, tanda baca, dan literatur di dalamnya tidak baik. Lebih jauh lagi, tidak mungkin ada instruktur/pembimbing yang mau menerima karia tulis tersebut tanpa ada perbaikan di dalamnya. Menulis amatematika dengan baik belum terlalu ditekankan pada seseorang yang masih mulai belajar Matematika, akan tetapi kemampuan tersebut sangat dibutuhkan saat belajar Matematika di tingkat lanjut, penempuh gelar Master misalnya. Meskipun begitu, alangkah baiknya jika kemampuan tersebut sudah mulai dilatih di setiap mengerjakan Matematika, belajar Matematika.
Secara detailnya, matematikawan menuliskan setiap bukti dari suatu permasalahan dengan menggunakan tata bahasa yang baik, dengan kalimat-kalimat yang lengkap, dan tatanan bahasa yang benar. Bahkan simbol Matematika banyak dimunculkan di dalamnya demi efisiensi penyajian bukti. Pembuktian dua kolom pada geometri misalnya, pembuktian ini digunakan untuk siswa SMA, akan etapi jenis pembuktian ini tidak digunakan pada saat kelas geometri di kelas perkuliahan (kecuali pada aspek tertentu yang memang harus menggunakan cara pembuktian tersebut). Continue reading

Pembuktian dan Dasar pada Matematika

Tulisan ini digunakan untuk menjembatani batasan konsep materi perhitungan seperti kalkulus, yang biasanya diambil pada awal dan tahun kedua mahasiswa, dan terlebih lagi, materi yang lebih teoritis lagi seperti Aljabar linier, Aljabar abstrak, dan Analisis real yang definisi-definisi dari masing-masing … Continue reading