apa sih matrik itu? dan matrik orthogonal itu bagaimana?

Saya menulis ini, selain karena ada yang request untuk mengulas tentang matrik ortogonal. Saya berfikir bahwa saya masih banyak tidak menguasai tentang matrik, jadi saya putuskan untuk menulis dari awal tentang matrik. Mungkin tentang matrik ortogonal akan saya pelajari dan saya tulis setelah saya memahami dari dasar, tentang apa itu matrik. Tepatnya setelah saya menulis definisi matrik ini, muncul definisi matrik ortogonal.

Definisi Matrik

Sebelum masuk ke aplikasinya, alangkah tepat jika saya memulainya dengan menulis definisi matrik itu sendiri. Seingat saya matrik adalah susunan bilangan yang disusun sedemikian hingga. Kalimatnya tidak bagus ya, jadi ini saya tulis definisi dari Encyclopedia of Mathematics page 329.

Definition :

matrix (plural, matrices) A rectangular array of numbers displayed in rows and columns and enclosed
in parentheses is called a matrix.

(In science, the word matrix is used to describe the background material, soil or rock, that holds an object such as a fossil or a crystal in place. In mathematics, the word is used to describe an array that “holds” numbers in place.) An m\times n matrix has m rows and n columns.

Menggunakan pemahaman saya, berikut ini definisi matrik.

Definisi :

matrix (jamak, matrices) Sebuah susunan dalam bentuk persegi empat dari bilangan-bilangan yang ditampilkan menjadi baris dan kolom dimana susunan tersebut ditutup dalam kurung (…) atau […] disebut matriks. Umumnya sih menggunakan […].

(Dalam ilmu sains, kata matrix digunakan untuk menggambarkan susunan dasar dari materi, tanah atau bebatuan, yang mengandung sesuatu seperti fosil atau kristal di suatu tempat. Dalam matematika, kata tersebut digunakan untuk menggambarkan sebuah susunan yang mengandung” bilangan di suatu tempat.) Dimana m\times n matrix memiliki arti m baris dan n kolom.

Continue reading

Advertisements

perbandingan senilai dan berbalik nilai

Sering kali bingung membedakan perbandingan senilai dan berbalik nilai waktu masih SMP dulu. Sering-seringnya pakai nalar sendiri yang kemungkinan jawabannya benar ada, tapi sedikit. 😀

Kali ini saya mencoba mereview materi perbandingan ini.

1.Perbandingan Senilai

Langsung saja ke permasalahannya saja. Secara umum kita tahu tentang perbandingan dan itu terkadang tidak menjadi materi yang menyulitkan kalau bisa memperhatikan, tapi sangat membingungkan kalau tidak cermat memahami maksud soal.

Untuk perbandingan senilai sangatlah sederhana, hampir semua orang bisa, syaratnya sudah memahami aritmatika sosial. Misalkan kita membeli 2 pasang sepatu seharga Rp.130.000, kalau kita beli 5 sepatu seharga 5 \times Rp.65.000. Hanya seperti itu. Idenya kita cari harga satuannya dulu.

Contoh Soal

Saya bersepeda selama 3 jam dapat menempuh jarak 20 Km. Berapa jarak yang saya tempuh jika saya bersepeda selama 4 jam?

Penyelesaian

Cara I

3 jam dapat menempuh jarak 20 Km, sehingga kita dapatkan dalam 1 jam jarak yang dapat saya tempuh adalah \frac{20}{3} Km. Dengan mendapatkan jarak tempuh dalam 1 jam, kita dapat mencarinya dalam kelipatan yang diinginkan.

Jarak yang dapat saya tempuh selama 4 jam adalah 4 \times\frac{20}{3} Km. Seperti itulah, pasti semuanya bisa, asalkan tidak ada kendala dalam masalah pecahan. 🙂

Cara II

Dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini  :

perbandingan senilai

Jadi langsung saja kita hitung seperti berikut ini.

x=\frac{4}{3}\times 20=\frac{80}{3}

Jadi, jarak yang dapat ditempuh saya dalam waktu 4 Jam adalah \frac{80}{3} Km.

Dapat disimpulkan bahwa maksud dari perbandingan senilai adalah ketika waktu yang digunakan semakin lama maka jarak yang ditempuh juga akan semakin jauh. Makanya dinamakan perbandingan senilai. Kurang lebih seperti itulah.

2. Perbandingan Berbalik Nilai

Selanjutnya, perbandingan berbalik nilai. Ini terkadang sering membuat bingung. Misalkan ada permasalahan tentang membangun rumah dengan beberapa tukang. Sudah jelas kan, jika tukang semakin banyak maka waktu yang diperlukan untuk membangun rumah semakin sedikit tho? Ini masuk ke perbandingan berbalik nilai.

Contoh

Ada 45  tukang bangunan membangun rumah dengan waktu 30 hari. Jika pemborong menambah tukang sebanyak 10 orang, berapa harikah rumah dapat selesai dikerjakan?

Jawab

Cara I

45 tukang membutuhkan waktu selama 30 hari dan karena ditambah 10 orang jadi banyak tukangnya sekarang adalah 55 orang selama y hari. Maka dapat dituliskan sebagai berikut ini caranya.

45\times 30=55\times y

1350=55 y

y=\frac{1350}{55}=\frac{270}{11}

Jadi waktu yang dibutuhkan tukang untuk menyelesaikan rumah tersebut adalah semakin cepat, yaitu \frac{270}{11} hari atau 24 hari dan \frac{6}{11} hari. Untuk yang \frac{6}{11} hari bisa di ubah menjadi satuan jam dengan cara mengalikan dengan 24 jam.

Saya buat hasil apa adanya sehingga lebih natural dan tidak terkesan soal terlihat dibuat-buat. 🙂

Cara II

Dengan menggunakan tabel sebagai berikut.

 perbandingan berbalik nilaiJadi langsung saja kita kerjakan dengan cara sebagai berikut ini.

z=\frac{45}{55}\times 30=\frac{1350}{55}

Hasil yang diperoleh tetap sama. 🙂

 

Silahkan kasih masukan dan koreksi kalau ada kesalahan. Thank you sudah berkunjung.

Contoh dan non-contoh kesebangunan

Ada yang komentar, “bisa diberi contoh masing2 gak pak? contoh untuk sebangun dengan yg tidak, biar lebih jelas.. soalnya aku belum benar2 paham.” Nah ini saya menulis Contoh dan non-contoh kesebangunan. Pastinya dengan bahasa saya ya, karena saya bukan guru, jadi saya berharap bisa memberikan pemahaman lebih tentang kesebangunan. 🙂

Contoh dan non-contoh kesebangunan dan kekongruenan

Contoh Kesebangunan

Sebelum kasih contoh, kita harus tahu dulu cara baca notasi pada matematika. Kalau ndak bisa baca notasi, pasti kebingungan. Nah ini notasi yang perlu diketahui untuk materi kesebangunan ini.

\angle ABC dibaca sudut ABC. Gambarnya seperti di bawah ini.

sudutJadi, sudutnya terletak di huruf B.

Sedangkan untuk notasi sisi, ditulis BA atau AB. Dua-duanya sama yang dimaksud garis AB atau BA. Jadi Faham ya. Mari dilanjutkan.

Apa itu kesebangunan? Kunjungi halaman saya ini ya, klik di sini. Kalau sudah tahu apa itu kesebangunan, berikut ini contohnya.

dua segitiga sebangunPerhatikan yang saya tulis di bawah ini (yang bercetak tebal dan biru) ya, khusus dek Tia, konsentrasi ya waktu membaca. 🙂

Proses menggambar segitiga di atas sebenarnya saya hanya membuat satu gambar segitiga, yaitu segitiga ABC saja. Kemudian saya copy paste menjadi segitiga ABC yang baru, akan tetapi, segitiga ABC yang baru saya perkecil tanpa mengubah besar sudut segitiga tersebut jadinya segitiga OPQ, hanya mengubah panjang sisi-sisinya. Nah itulah yang dinamakan sebangun. Kog bisa? iya karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar plus sisi-sisi yang bersesuaian perbandingannya bernilai sama.

(bentar-bentar, tau kan maksudnya bersesuaian? pasti tahu kan ya? 🙂 pinter kog masa ga tahu)

Mana saja sudut yang bersesuaian? Berikut ini sudut yang bersesuaian.

\angle ABC=\angle POQ, \angle BCA=\angle OQP, dan \angle CAB=\angle QPO

Apa sudah cukup syaratnya hanya sudut-sudut yang bersesuain tersebut sama besar, trus bisa disimpulkan sebangun? Belum, kita harus tahu bahwa perbandingan masing-masing sisi segitiga yang bersesuaian sama nilainya.

Misalkan diketahui panjang AB=8, panjang AC=10, dan CB=12.

dan juga misal diketahui PO=4, panjang PQ=5, dan QO=6.

Nah perhatikan perbandingan masing-masing sisi yang bersesuaian.

\frac{AB}{PO}=\frac{8}{4}=\frac{2}{1}

\frac{AC}{PQ}=\frac{10}{5}=\frac{2}{1}

\frac{CB}{QO}=\frac{12}{6}=\frac{2}{1}

Nah, karena nilai semua perbandingannya sama, jadi kedua segitiga tersebut sebangun. Semoga faham ya.

Non-Contoh Kesebangunan

Sekarang yang bukan kesebangunan. Berikut ini gambarnya.

contoh dan non-contoh kesebangunanIni contohnya terlalu jelas ya, jelas tidak sebangunnya. Hahaha Faham kan tapi? Karena sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar, apalagi sisi-sisinya.

Digambar segitiga KLM, hanya \angle MKL yang sama dengan \angle ABC, lainnya berbeda.

Sudah faham ya, bagaimana sebangun dan tidak? Tetap tanyakan ya kalau masih belum faham. Karena cara menjelaskan saya mungkin yang ndak baik, jadi yang membaca tidak faham. Semangat belajar terus ya, kalian akan menikmati hasil kerja keras kalian di masa mendatang. Itu sangat memuaskan lho! 🙂

Apa itu koordinat kartesius

Banyak yang sudah tahu apa itu koordinat kartesius karena mulai dari kelas 6 SD kita sudah diperkenalkan tentang koordinat kartesius. But, apakah kita pernah diberikan cerita tentang bagaimana sebenarnya koordinat kartesius sejarahnya dan apa manfaatnya. Nah kali ini saya menuliskan tentang sejarah singkat koordinat kartesius ini.

descartes koordinat kartesius mahinmuhammad

sumber : slidesharecdn.com

Koorinat kartesius (Cartesian coordinates/orthogonal coordinates)

Dalam bahasa inggris dituliskan Cartesian coordinates/orthogonal coordinates yang mana cartesian diambil dari kata nama penemunya dalam bahasa Latin. Nama penemunya adalah Rene Descartes (1596-1650), di karya terkenalnya pada tahun 1637, La geometrie (Geometri), seorang matematikawan dan filusuf dari Perancis, pada abad 17, yang dalam bahasa latinnya dia memiliki nama Cartesius. Penemuan ini merupakan salah satu penemuan yang memberikan satu pukulan yang bagus untuk mempercepat perkembangan ilmu matematika. Why, karena sistem koordinat kartesius (Cartesian Coordinates System) ini memiliki peran dalam menyatukan Geometri dan Aljabar. Bagaimana bisa dikatakan seperti itu? koordinat kartesius menyajikan sebuah cara dalam merepresentasikan setiap titik pada bidang datar melalui pasangan-pasangan bilalngan, lebih jelasnya di bawah akan muncul tulisan mengapa ini bisa terjadi. Continue reading

Error dan matematika

Seringkali kita mengucapkan kata error di dalam kehidupan sehari-hari, tapi apakah kita tahu apa error itu kalau di dalam Matematika?. Berdasarkan buku The Encyclopedia of Mathematics, selisih antara nilai pendekatan dari suatu jumlah dan nilai numerik yang sebenarnya dari jumlah tersebut disebut sebagai “ERROR”. Agak membingungkan ya kalimatnya? atau sangat membingungkan?. Langsung saja ke contoh ya.

error dalam matematika

sumber : mathcity.org

Error dalam matematika

Sebelum ke contoh, dalam beberapa buku/literatur memiliki perbedaan untuk menyatakan definisi error tersebut, jika x adalah nilai pendekatan dari X, maka beberapa buku tersebut menuliskan dengan hasil dari X-x ketika menyatakan error, dan kemudian lainnya menuliskan dengan cara x-X. Jadi agar tidak ada hal yang membingungkan ketika membaca literatur yang berbeda maka dimunculkanlah “absolute error”, |X-x|. Misalkan 5,6 adalah nilai pendekatan dari 5,59, maka errornya adalah 0,01 atau -0,01, dengan menggunakan tanda harga mutlak, kebingungan ini tidak menjadi masalah lagi. Continue reading

Materi Kesebangunan dan kekongruenan SMP

Lama sekali saya tidak update artikel matematika, entah hanya permainan atau materi ringan. Malah sibuk dengan kegiatan di luar. Sekarang, saya sempatkan untuk menulis tentang materi kesebangunan dan kekongruenan untuk tingkat SMP. Setahu saya sih, materi ini diajarkan di kelas IX. Ah, itu tidak penting, kalau ada anak SD yang tertarik dan belajar kemudian faham, kan lebih bagus.

KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN

A. Kesebangunan

Di sini saya akan menuliskan tentang konsep yang saya fahami dan pastinya berdasar kog. Saya sering kurang sepakat dengan siswa yang hanya meminta cara cepatnya, ketika dia bertanya “bagaimana cara cepatnya Pak?”, saya jawab “lihat samping kamu, jawabannya apa, kalau sama-sama belum selesainya, tanya ke guru kamu”. 😀

Sebelum masuk ke materi kekongruenan, di sini akan dibahas terlebih dahulu konsep tentang kesebangunan. Apa itu kesebangunan? ini definisinya.

“Two polygons are similar polygons if corresponding angles have the same measure and corresponding sides are in proportion”

yang artinya kurang lebih,

“Dua bangun datar (segi banyak) dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian memiliki ukuran yang sama dan sisi-sisi yang bersesuaian memiliki proporsi yang sama” Sumber : klik

Oke, dari sini sudahkah faham? saya mencoba menjelaskan dengan bahasa saya sendiri ya. Ketika kita memiliki dua bangun datar dan kita ingin memeriksa, apakah dua bangun tersebut sebangun. First Step adalah kita menghitung besar setiap sudut dari bangun tersebut, apabila besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama, kita bisa mencurigainya bahwa dua bangun tersebut sebangun. Agar lebih yakin lagi, kita lanjutkan Second Step, kita periksa panjang masing-masing sisi bangun tersebut. Kita buat perbandingan masing-masing sisi yang bersesuaian jika hasilnya memiliki perbandingan yang sama, sudah dipastikan bahwa dua bangun tersebut sebangun. Continue reading

Game [permainan] matematika asik

Kalau seandainya ada gambar lingkaran, sebuah pencil, dan sebuah buku tulis. Dapatkah anda menemukan titik pusat lingkaran tersebut dengan menggunakan pensil dan buku tulis tadi?. Ini permainan matematika yang asik, tidak begitu menyiksa otak, tapi sedikit memberikan tantangan.

Permainan Matematika

Misalkan anda diberikan satu gambar lingkaran berikut ini.

permainan matematika

Selanjutnya, anda diberikan sebuah pensil dan buku tulis berikut ini.

belajar matematika

Pertanyaannya adalah bagaimana anda dapat menemukan titik pusat lingkaran dengan menggunakan pensil dan buku tulis tersebut?

Pasti banyak yang bisa, tapi ga tahu juga sih. Selamat mencoba. Besok saya posting jawabannya. 🙂

Materi Himpunan lengkap SMP [Part 3]

Ini merupakan kelanjutan dari postingan saya sebelumnya [lihat]. Kali ini saya mencoba merangkum materi yang juga akan digunakan untuk mengerjakan soal-soal berhubungan dengan himpunan dikemudian.

Materi [penunjang menyelesaikan soal-soal] Himpunan lengkap SMP

Materi kali ini adalah tentang PemetaanFungsi. Berikut ini saya mulai dengan Pemetaan.

A. RELASI

Berikut ini merupakan gambar dari relasi dua himpunan Z dengan himpunan S. Terserah relasi seperti apakah yang terjadi di gambar bawah ini. Bisa dikatakan relasi adalah hubungan setiap anggota Z ke anggota S, tanpa satu syarat, bagaimana hubungan tersebut harus terjadi. Berikut ini contohnya :

pemetaan

Relasi dua himpunan

Oke, jika sudah faham itu pemetaan, selanjutnya kita masuk ke – apa itu FUNGSI/PEMETAAN. Continue reading

Menghitung luas tembereng jika diketahui sudut pusat

Iseng – iseng lagi deh ceritanya saya, karena usaha saya masih dalam proses persiapan, Insyaallah habis lebaran udah deh launching, usaha kecil menengah dan semoga penghasilannya barokah. Aaamin. Kali ini saya ingin menulis tentang bagaimana menemukan luas tembereng jika diketahui sudut pusat pada suatu lingkaran O.

Bisa dikatakan ini menulis ulang, tapi bukan coffee paste ya. 😀 Saya tulis dengan pemahaman dan bahasa saya sendiri.  Misalkan lingkarang dibawah ini dengan temberengnya adalah area yang berwarna merah dan sudutnya adalah diantara jari-jari lingkaran dengan warna kuning. Umumnya kita mencari dengan menggunakan cara sebagai berikut ini :

Luas tembereng = \pi r^2 \times sudut juring - luas segitiga

menghitung luas tembereng lingkarang

Oke, saya pikir semuanya sudah faham dengan hal itu dan sangat banyak di blog-blog lain yang telah menuliskan tentang itu. Continue reading

Belajar Matematika

Berikut ini materi dasar matematika yang wajib dikuasai untuk tingkat SMA.

A. Materi Dasar Belajar Matematika untuk SMA

Materi pada tingkat SMA sudah masuk ke tahap analisis permasalahan, materi dasar belajar yang digunakan merupakan materi matematika yang ada pada tingkat SD sampai SMP dan semua materi matematika tersebut wajib dikuasai untuk tingkat SMA.

image

matematika menakjubkan

Pada permasalahan atau soal di tingkat SMA ini sudah mulai menggunakan satu sampai dua teori untuk menemukan solusinya. Continue reading